Nézz a lábad elé, ott is lehet egy feladvány!
237. felavány: Macskaköves út
Leejtettem tizenegy darab 200 forintos érmét egy macskaköves úton, és amikor fel akartam szedni a pénzem, látom, hogy egy érme kivételével mindegyik ugyanazon a kövön fekszik teljes felületével, ráadásul az érmék érintkeznek egymással, lásd az alábbi ábrát.
Mekkora részét fedik az érmék a kőnek, ha a kő sarkai egyforma körívek, a szomszédos oldalai pedig egymásra merőleges egyeneseken fekszenek? És mekkora részét fedik le a kövek az utcának, ha a mintázat periodikus, és a kövek közti rések mindenhol egyformák?
Tipp chevron_down
Az érmék érintkezései alapján könnyen belátható, hogy a kő négyzetes felületű. Az is látható, hogy a kő sarkainak íve az érme ívével megegyező. A szomszédos követ éppen érintő lelógó érme segítségével pedig megállapítható a kövek közötti rés szélessége. Ezekből már minden számolható.
Megoldás chevron_down
Először a kő szélességét és magasságát határozzuk meg. A Magyar Nemzeti Bank honlapja szerint a 200 forintos érme átmérője 28,3 mm, tehát a sugara R = 14,15 mm. Kihasználva, hogy három egymással páronként érintkező kör középpontja szabályos háromszöget alkot, aminek szögei 60 fokosak, az egymással és a kő szélével való érintkezések miatt megállapíthatjuk, hogy az ábrán látható piros vonal függőleges, és 30 illetve 60 fokos meredekségű szakaszokból, a kék vonal pedig vízszintes és 30 fokos meredekségű szakaszokból áll. Azt is megállapíthatjuk, hogy a lelógó érme pont félig lóg le a kőről, tehát a kövek közti rés szélessége éppen R lesz.
Ha tekintjük a kék vonal vízszintes vetületét, vagy a piros vonal emelkedését a kő aljától a tetejéig, akkor megállapíthatjuk, hogy mindkettő L = 6·R + 4·R·sin(60) ≈ 133,917 mm hosszúságú. Figyelembe véve, hogy a négyzet sarkai le vannak kerekítve, a kő területét úgy tudjuk számolni, ha az alábbi darabolás szerint részekből rakjuk össze a területet. Eszerint a terület áll egy érme területéből (a négy sarok összesen), plusz egy L-2R oldalú négyzet területéből és négy darab R x (L-2R) -es téglalap területéből. Ha ezeket összeadjuk, azt kapjuk, hogy a macskakő területe 17.762 mm², a rajta fekvő tíz és fél érme területe kb. 6.919 mm², ami azt jelenti, hogy a kőnek nagyjából a 39%-át fedik az érmék.
Végezetül arra vagyunk kíváncsiak, hogy a macskakő hányad részét fedi az utcának. Ehhez egy olyan egységet kell tekintenünk, amivel periodikusan lefedhető az utca a réseket is beleértve. Egy ilyen egység például az alábbi ábrán látható piros négyzet, ami egy kőnél R/2-vel lóg túl minden irányba. Ennek az L+R oldalú négyzetnek a területe 21.924 mm², az utca fedettsége tehát 17.762 / 21.924 ≈ 81%.
Az Ész Ventura feladványügyi rovat gazdája: Gáspár Merse Előd fizikus, kognitív kutató, társasjáték-fejlesztő és bűvész.